Est-ce que ça vous est déjà arrivé de vous rendre compte qu’un lot de composants comporte de nombreuses pièces défectueuses seulement après en avoir utilisé une bonne partie? S’agit-il de malchance ou doit-on s’attendre à ce phénomène? Combien de bonnes pièces peuvent se succéder avant de tomber sur le premier défaut?
Il ne s’agit pas ici de déterminer une propriété moyenne du lot. Si c’était le cas, un échantillonnage aurait du sens afin de pouvoir calculer la propriété en question.
On suppose que les pièces ont une qualité binaire: elles sont soit bonnes, soit défectueuses. Pour déterminer la qualité du lot (son taux de défaut) il faudrait en inspecter toutes les pièces. Souvent ce n’est pas pratique et/ou onéreux et donc on préfère recourir à l’échantillonnage. On va tirer quelques pièces au hasard et vérifier leur état pour juger de la qualité du lot entier. Est-ce que c’est une bonne idée?
Homogénéité
L’hypothèse principale concerne l’homogénéité des pièces lors du tirage. Les pièces doivent être réparties de manière parfaitement homogène, indépendamment de leur classe de qualité (bon/mauvais). Il n’y a donc pas d’effets de regroupement : la classe de la pièce qu’on vient de tirer n’influence pas la probabilité que la pièce suivante soit de l’une ou l’autre classe. Il y a peut-être des pièces non-conformes dans le lot étudié, mais elles sont bien mélangées parmi les autres pièces (conformes) du lot.
Défauts rares et aléatoires
Notre situation correspond à une machine ou à un processus qui crée des défauts de manière parfaitement aléatoire. Une pièce, de temps en temps, n’est pas correcte. Ici non plus, pas de regroupement ou de lien entre la qualité de deux pièces, mêmes si elles ont été produites l’une juste après l’autre.
Le taux de défaut correspond lui au nombre de pièces défectueuses par rapport à la quantité totale produite. Dans cet article on va supposer qu’on connait ce taux véritable, comme si on avait déjà inspecté toutes les pièces.
Cas simple
Pour débuter, nous allons voir comment déterminer la probabilité de ne tirer que de bonnes pièces. Cela explique aussi comment tracer les graphiques suivants.
Comment calculer les probabilités
Imaginez un lot de 1000 pièces au total avec un taux de défaut de 4%. Par conséquent 40 pièces parmi les 1000 sont défectueuses.
Si vous tirez 1 pièce au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur une bonne pièce?
Il s’agit du nombre de bonnes pièces divisé par le nombre total de pièces.
Si vous tirez 2 pièces sans remise, quelle est la probabilité de ne tomber que sur de bonnes pièces?
La première étape correspond au tirage d’une seule pièce, dont on vient de calculer la probabilité.
On ajoute maintenant le deuxième tirage. Lors de celui-ci, les quantités de bonnes pièces et de pièces totales sont réduites chacune de 1 car la première pièce tirée, qui était bonne, n’est plus présente.
Ce schéma se répète pour chaque nouveau tirage.
Ainsi, pour un tirage de 3 pièces on aura:
Continuons ainsi de calculer quel serait le résultat en fonction du nombre de pièces tirées.
La seule limite est quand le nombre de pièces bonnes (le numérateur) tombe à zéro. La probabilité est alors de zéro, car il ne reste plus que de mauvaises pièces à tirer.
La probabilité reste à zéro jusqu’à ce que la courbe se termine, lorsque la quantité totale de pièces (le dénominateur) atteint également zéro.
Représentation graphique
Graphiquement, la situation se présente ainsi:
À 16 tirages, la probabilité de n’avoir trouvé que de bonnes pièces est encore supérieure à 0.5, ce qui correspond à la chance de gagner à pile ou face.
À 42 tirages, la probabilité de n’avoir trouvé que de bonnes pièces est encore supérieure à 0.17, ce qui correspond à la chance de gagner en prédisant un nombre tiré au dé.
Combien de temps faut-il pour déterminer la qualité d’une pièce? Pour faire simple, disons 1 minute. Donc après ¾ d’heure d’inspection, vous avez encore 1 chance sur 6 de n’avoir rien remarqué d’anormal. Dans la pratique, on va déclarer le lot conforme et on envisagera de faire sauter le contrôle qualité à la prochaine livraison, à tort. On découvrira les pièces non-conformes par la suite, durant la production. Ou pire, elles finiront chez le client.
Plus ou moins de défauts
Quelle est l’influence du taux de défaut sur la probabilité de détection?
Calculons plusieurs courbes en faisant varier le taux de défaut, toujours pour un lot de 1000 pièces.
Comme on peut s’y attendre, plus le taux de défaut est élevé, plus vite on va tirer une pièce non-conforme.
Détecter un très mauvais lot est relativement rapide. Relativement seulement, car à 10% de défauts (100/1000), on a encore 1 chance sur 10 de ne rien avoir remarqué après avoir vérifié 22 pièces.
À 1% de défauts (10/1000), il reste plus de 1 chance sur 3 de ne rien avoir remarqué après avoir vérifié 100 pièces.
Des lots plus ou moins grands
Quelle est l’influence de la taille du lot sur la probabilité de détection?
Calculons plusieurs courbes en faisant varier la taille des lots, toujours pour un taux de défaut de 4%.
Pour les très petits lots (p.ex.: 25, 50), la probabilité de ne rien remarquer diminue rapidement. En effet, chaque pièce tirée réduit fortement les quantités de pièces bonnes et de pièces restantes.
Avec l’augmentation de la taille du lot, on a plus de bonnes pièces disponibles pour se succéder lors des tirages. Leur retrait de l’ensemble initial n’a qu’un impact faible sur la quantité de pièces bonnes et sur la quantité totale de pièces restantes. Passé le cap des 500 pièces, les courbes se confondent, indiquant qu’une augmentation de la taille du lot n’a plus d’impact significatif.
Implications pour les contrôles sporadiques
Quand on ne peut pas inspecter chaque pièce d’un lot, on décide souvent d’en vérifier quelques-unes, tirées au hasard. Cette mesure sera efficace si l’erreur affecte le lot de manière binaire, c’est-à-dire qu’elle affecte soit l’ensemble du lot, soit pas du tout. C’est le cas, par exemple, si on a modifié les instructions de production ou d’assemblage et qu’on veut s’assurer que la nouvelle version est désormais utilisée. Toutefois, même si la détection du défaut est garantie, avoir la majorité d’un lot affecté n’est pas une situation désirable.
Comme on vient de le démontrer dans cet article, il est fort peu probable de détecter des défauts rares sur des pièces choisies au hasard. Cela s’applique aussi bien à la vérification de la marchandise entrante qu’à sa propre production.
Au lieu de procéder par échantillonnage, il est préférable de suivre l’une des pistes suivantes:
- Éliminer la pièce ou l’opération. Ce qui n’existe pas ne peut pas être mal effectué.
- Rendre l’erreur impossible à réaliser. Par exemple au moyen de détrompeurs (poka-yoke).
- Vérifier chaque unité, si possible immédiatement après l’opération.
